3. (1 балл) Найдите 5 sin α, если cos α = 2√6 / 5 и α ∈ (π; 2π).

Решение:

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \( \sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1 \).

Подставим известное значение \( \cos{\alpha} \):

\[ \sin^2{\alpha} + \left( \frac{2\sqrt{6}}{5} \right)^2 = 1 \]\[ \sin^2{\alpha} + \frac{(2\sqrt{6})^2}{5^2} = 1 \]\[ \sin^2{\alpha} + \frac{4 \cdot 6}{25} = 1 \]\[ \sin^2{\alpha} + \frac{24}{25} = 1 \]\[ \sin^2{\alpha} = 1 - \frac{24}{25} \]\[ \sin^2{\alpha} = \frac{1}{25} \]\[ \sin{\alpha} = \pm \sqrt{\frac{1}{25}} \]\[ \sin{\alpha} = \pm \frac{1}{5} \]

По условию, \( \alpha \) принадлежит третьему или четвертому квадранту (\( \pi < \alpha < 2\pi \)). В этих квадрантах синус отрицателен.

Следовательно, \( \sin{\alpha} = -\frac{1}{5} \).

Теперь найдем \( 5 \sin{\alpha} \):

\[ 5 \sin{\alpha} = 5 \cdot \left( -\frac{1}{5} \right) = -1 \]

Ответ: -1