3 (1 балл) Вычислите значение выражения: a) \(\frac{\sqrt[3]{27 \cdot 16^4}}{6}\); б) \(\frac{\log_6 2 + \log_6 18}{9^{\log_3 2}}\); в) \(\cos 420°\).

Решение:

а) Вычислим значение выражения:

\(\frac{\sqrt[3]{27 \cdot 16^4}}{6} = \frac{\sqrt[3]{3^3 \cdot (2^4)^4}}{6} = \frac{\sqrt[3]{3^3 \cdot 2^{16}}}{6} = \frac{3 \cdot 2^{16/3}}{6} = \frac{3 \cdot 2^{5} \cdot 2^{1/3}}{6} = \frac{3 \cdot 32 \cdot \sqrt[3]{2}}{6} = \frac{96 \sqrt[3]{2}}{6} = 16 \sqrt[3]{2}\)

б) Вычислим значение выражения:

Сначала упростим числитель, используя свойство логарифмов \( \log_a x + \log_a y = \log_a (xy) \):

\(\log_6 2 + \log_6 18 = \log_6 (2 \cdot 18) = \log_6 36 = \log_6 6^2 = 2\)

Теперь упростим знаменатель, используя свойство \( a^{\log_a x} = x \) и \( a^{\log_{a^k} x} = x^{1/k} \). Преобразуем основание степени: \( 9 = 3^2 \).

\( 9^{\log_3 2} = (3^2)^{\log_3 2} = 3^{2 \cdot \log_3 2} = 3^{\log_3 2^2} = 3^{\log_3 4} = 4\)

Теперь подставим полученные значения в дробь:

\(\frac{\log_6 2 + \log_6 18}{9^{\log_3 2}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)

в) Вычислим значение выражения:

Так как функция \( \cos x \) периодична с периодом \( 360° \), то \( \cos 420° = \cos (420° - 360°) = \cos 60° \).

\(\cos 60° = \frac{1}{2}\)

Ответ: а) \( 16\sqrt[3]{2} \); б) \( \frac{1}{2} \); в) \( \frac{1}{2} \).