4 (1 балл) Упростите выражение (\(\frac{1}{\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}}\)-\(\frac{1}{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}}\)) \(\cdot (\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})\).

Решение:

Сначала упростим выражение в первой скобке, приведя дроби к общему знаменателю:

\( \left( \frac{1}{\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}} - \frac{1}{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}} \right) = \frac{(\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}) - (\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b})}{(\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b})(\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b})} \)

Раскроем скобки в числителе:

\( = \frac{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b} - \sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}}{(\sqrt[6]{a})^2 - (\sqrt[6]{b})^2} = \frac{2\sqrt[6]{b}}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \)

Теперь умножим полученное выражение на вторую скобку:

\( \frac{2\sqrt[6]{b}}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \cdot (\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}) = 2\sqrt[6]{b} \)

Ответ: \( 2\sqrt[6]{b} \).