3.1. Докажите иррациональность числа: а) √2; б) √3; в) 1 − √3; г) √3 − √15.

а) Предположим, что √2 = m/n, где m и n — взаимно простые целые числа, n ≠ 0. Тогда m² = 2n², значит, m чётно. Записав m = 2k, получаем n² = 2k², то есть n тоже чётно. Это противоречит взаимной простоте m и n. Следовательно, √2 иррационально.

б) Если √3 = m/n в несократимом виде, то m² = 3n². Отсюда 3 делит m, а после подстановки m = 3k получаем, что 3 делит и n. Противоречие. Значит, √3 иррационально.

в) Если 1 − √3 рационально, то √3 = 1 − (1 − √3) тоже рационально, что противоречит пункту б). Значит, 1 − √3 иррационально.

г) Предположим, что r = √3 − √15 рационально. Тогда r² = 18 − 6√5, откуда √5 = (18 − r²)/6 рационально. Но √5 иррационально: если √5 = m/n в несократимом виде, то m² = 5n², откуда 5 делит и m, и n, что невозможно. Следовательно, √3 − √15 иррационально.