3.3. а) Пусть p/q — несократимая дробь и q > 1. Докажите, что натуральная степень (p/q)^n, n ∈ N, есть также несократимая дробь.

Так как дробь p/q несократима, числа p и q взаимно просты: НОД(p, q) = 1.

Возведём дробь в натуральную степень: (p/q)ⁿ = pⁿ/qⁿ.

Если бы pⁿ и qⁿ имели общий делитель d > 1, то у d нашёлся бы простой делитель ℓ. Тогда ℓ делил бы pⁿ и qⁿ, а значит, делил бы и p, и q. Это противоречит условию, что p и q взаимно просты.

Следовательно, НОД(pⁿ, qⁿ) = 1, поэтому дробь pⁿ/qⁿ несократима.