3. 1) Две стороны треугольника равны 8 см и 4√3 см, а угол между ними — 30°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь. 2) В треугольнике ABC известно, что BC = 7√2 см, ∠A = 135°, ∠B = 30°. Найдите сторону AC треугольника. 3) Определите, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник со сторонами 5 см, 9 см и 12 см.

1) По теореме косинусов для третьей стороны c:

c² = 8² + (4√3)² − 2 · 8 · 4√3 · cos 30° = 64 + 48 − 96 = 16, поэтому c = 4 см.

Площадь найдём по двум сторонам и углу между ними: S = (1/2) · 8 · 4√3 · sin 30° = 8√3 см².

2) Сначала найдём третий угол: ∠C = 180° − 135° − 30° = 15°. По теореме синусов:

AC / sin 30° = BC / sin 135°, значит AC = 7√2 · (1/2) / (√2/2) = 7 см.

3) Наибольшая сторона равна 12 см. Сравним её квадрат с суммой квадратов двух других сторон: 12² = 144, а 5² + 9² = 106. Поскольку 144 > 106, треугольник тупоугольный.

Ответ: 1) 4 см; 8√3 см². 2) 7 см. 3) тупоугольный.