3. 1) Из точки O проведены лучи OA, OB и OC, причем OB ⟂ OA (рис. 32). Угол, образованный биссектрисами углов AOB и BOC, равен 75°. Найдите углы AOB, BOC и AOC. 2) При пересечении двух прямых образовалось четыре угла меньше развернутого. Найдите эти углы, зная, что один из них на 60° больше половины другого.

Так как \(OB⊥OA\), то \(∠AOB=90°\). Обозначим \(∠BOC=x\). Лучи расположены так, что биссектрисы углов \(AOB\) и \(BOC\) образуют угол \(45°+\frac{x}{2}\).

По условию \(45°+\frac{x}{2}=75°\), откуда \(\frac{x}{2}=30°\) и \(x=60°\). Значит, \(∠BOC=60°\).

Угол \(AOC\) состоит из углов \(AOB\) и \(BOC\): \(∠AOC=90°+60°=150°\).

При пересечении двух прямых смежные углы в сумме составляют 180°, а вертикальные углы равны. Пусть меньший угол равен \(x\), больший — \(y\). Тогда \(x+y=180°\), и больший на 60° больше половины меньшего: \(y=\frac{x}{2}+60°\).

Подставим во первое равенство: \(x+\frac{x}{2}+60°=180°\). Тогда \(\frac{3x}{2}=120°\), откуда \(x=80°\), а \(y=100°\).

Каждый из этих углов встречается дважды как пара вертикальных углов.

Ответ: 1) ∠AOB = 90°, ∠BOC = 60°, ∠AOC = 150°; 2) два угла по 80° и два угла по 100°.