3.1. Решите неравенство: \(\log_{x-1}(x^2-6x+8)\le 1\).

ОДЗ:

Основание логарифма должно удовлетворять условиям \(x-1>0\), \(x-1\ne1\), а аргумент — быть положительным:

\[x>1,\quad x\ne2,\quad x^2-6x+8>0.\]

Так как \(x^2-6x+8=(x-2)(x-4)\), получаем:

\[x\in(1,2)\cup(4,+\infty).\]

1) На промежутке \((1,2)\): основание \(x-1\in(0,1)\), поэтому знак неравенства меняется:

\[x^2-6x+8\ge x-1,\]

\[x^2-7x+9\ge0.\]

Корни: \(x_{1,2}=\frac{7\pm\sqrt{13}}2\). На промежутке \((1,2)\) получаем:

\[x\in\left(1,\frac{7-\sqrt{13}}2\right].\]

2) На промежутке \((4,+\infty)\): основание \(x-1>1\), поэтому:

\[x^2-6x+8\le x-1,\]

\[x^2-7x+9\le0.\]

Следовательно,

\[x\in\left(4,\frac{7+\sqrt{13}}2\right].\]

Ответ: \(\left(1,\frac{7-\sqrt{13}}2\right]\cup\left(4,\frac{7+\sqrt{13}}2\right]\).