3.2. Решите неравенство: \(\frac{\log_3(9x)\cdot\log_3\left(\frac{x}{3}\right)}{\log_3^2x-1}\ge0\).

ОДЗ: \(x>0\), \(\log_3^2x-1\ne0\). Поэтому \(x\ne\frac13\) и \(x\ne3\).

Пусть \(t=\log_3x\). Тогда:

\[\log_3(9x)=t+2,\quad \log_3\left(\frac{x}{3}\right)=t-1,\quad \log_3^2x-1=(t-1)(t+1).\]

Неравенство принимает вид:

\[\frac{(t+2)(t-1)}{(t-1)(t+1)}\ge0,\quad t\ne-1,1.\]

Сокращая множитель \(t-1\) с учётом исключения \(t=1\), получаем:

\[\frac{t+2}{t+1}\ge0,\quad t\ne-1,1.\]

Отсюда:

\[t\in(-\infty,-2]\cup(-1,1)\cup(1,+\infty).\]

Возвращаемся к переменной \(x\):

\[x\in\left(0,\frac19\right]\cup\left(\frac13,3\right)\cup(3,+\infty).\]

Ответ: \(\left(0,\frac19\right]\cup\left(\frac13,3\right)\cup(3,+\infty)\).