3. 1. Вычислить: \(49^{-1/2}\cdot(1/7)^{-2}+2^{-1}\cdot(-2)^{-2}\). 2. Выполнить действия: а) \(\frac{2a^3x^5}{3b^2y^4}\cdot\frac{6ay^3}{5bx^4}\cdot\frac{by}{a^2x^2}\); б) \(a^{3/2}b^{1/2}c^{3/2}\cdot a^{-1/2}b^{1/2}c^{-3/2}\). 3. Упростить выражение: \(\frac{m-n}{m^{1/2}-n^{1/2}}-\frac{m^{3/2}-n^{3/2}}{m-n}\).

1. Вычисляем степени: \(49^{-1/2}=1/7\), \((1/7)^{-2}=49\), \(2^{-1}=1/2\), \((-2)^{-2}=1/4\).

\(\frac17\cdot49+\frac12\cdot\frac14=7+\frac18=\frac{57}{8}\).

Ответ: \(\frac{57}{8}\).

2а. Перемножаем числители и знаменатели, затем сокращаем одинаковые основания:

\(\frac{2\cdot6}{3\cdot5}\,a^{3+1-2}x^{5-4-2}b^{1-2+1}y^{-4+3+1}=\frac45\,a^2x^{-1}=\frac{4a^2}{5x}\).

Ответ: \(\frac{4a^2}{5x}\).

2б. При умножении степеней с одинаковым основанием складываем показатели:

\(a^{3/2-1/2}b^{1/2+1/2}c^{3/2-3/2}=ab\).

Ответ: \(ab\).

3. В первой дроби применяем разность квадратов, во второй — разность кубов. Обозначим \(\sqrt m=u\), \(\sqrt n=v\).

\(\frac{m-n}{\sqrt m-\sqrt n}=\frac{u^2-v^2}{u-v}=u+v\), а \(\frac{m^{3/2}-n^{3/2}}{m-n}=\frac{u^3-v^3}{u^2-v^2}=\frac{u^2+uv+v^2}{u+v}\).

Тогда разность равна \((u+v)-\frac{u^2+uv+v^2}{u+v}=\frac{(u+v)^2-(u^2+uv+v^2)}{u+v}=\frac{uv}{u+v}\).

Возвращаясь к переменным, получаем \(\frac{\sqrt{mn}}{\sqrt m+\sqrt n}\).

Ответ: \(\frac{\sqrt{mn}}{\sqrt m+\sqrt n}\).