4. 1. Вычислить: \((1/4)^{1/2}\cdot16^{1/2}-2^{-1}\cdot(1/25)^{-1/2}\cdot8^{1/3}\). 2. Выполнить действия: а) \(\frac{2a^3b^8c^4}{3x^3y^4z^8}:\frac{4a^2b^8c^5}{5x^3y^3z^4}\); б) \(a^{2/3}b^{-1/3}c^{5/6}\cdot a^{-1/3}b^{1/3}c^{-2/3}\). 3. Упростить выражение: \(\frac{1-a^{-1/2}}{1+a^{1/2}}-\frac{a^{1/2}+a^{-1/2}}{a-1}\).

1. \((1/4)^{1/2}=1/2\), \(16^{1/2}=4\), \((1/25)^{-1/2}=5\), \(8^{1/3}=2\).

\(\frac12\cdot4-\frac12\cdot5\cdot2=2-5=-3\).

Ответ: \(-3\).

2а. Деление на дробь заменяем умножением на обратную дробь:

\(\frac{2a^3b^8c^4}{3x^3y^4z^8}\cdot\frac{5x^3y^3z^4}{4a^2b^8c^5}=\frac56\,a^{3-2}b^{8-8}c^{4-5}x^{3-3}y^{3-4}z^{4-8}=\frac{5a}{6cyz^4}\).

Ответ: \(\frac{5a}{6cyz^4}\).

2б. Складываем показатели степеней одинаковых оснований:

\(a^{2/3-1/3}b^{-1/3+1/3}c^{5/6-2/3}=a^{1/3}c^{1/6}\).

Ответ: \(a^{1/3}c^{1/6}\).

3. Пусть \(t=\sqrt a\). Тогда первое слагаемое равно \(\frac{1-1/t}{1+t}=\frac{t-1}{t(1+t)}\). Второе слагаемое:

\(\frac{t+1/t}{t^2-1}=\frac{(t^2+1)/t}{(t-1)(t+1)}=\frac{t^2+1}{t(t-1)(t+1)}\).

Приводим к общему знаменателю:

\(\frac{(t-1)^2-(t^2+1)}{t(t-1)(t+1)}=\frac{-2t}{t(t-1)(t+1)}=-\frac{2}{t^2-1}=-\frac{2}{a-1}\).

Ответ: \(-\frac{2}{a-1}\).