3. 1/x = 2x + 1

Привет! Давай решим это уравнение графически. Нам нужно найти точки пересечения графиков функций y = 1/x (гипербола) и y = 2x + 1 (прямая).

Важно: x не может быть равен 0.

Шаг 1: Строим график y = 1/x

Это гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях. Она проходит через точки:

• При x = 1, y = 1. Точка (1, 1).
• При x = 2, y = 0.5. Точка (2, 0.5).
• При x = 0.5, y = 2. Точка (0.5, 2).
• При x = -1, y = -1. Точка (-1, -1).
• При x = -2, y = -0.5. Точка (-2, -0.5).
• При x = -0.5, y = -2. Точка (-0.5, -2).

Шаг 2: Строим график y = 2x + 1

Это прямая. Найдем две точки:

• При x = 0, y = 2(0) + 1 = 1. Точка (0, 1).
• При x = 1, y = 2(1) + 1 = 3. Точка (1, 3).
• При x = -1, y = 2(-1) + 1 = -1. Точка (-1, -1).

Шаг 3: Находим точки пересечения

Нарисуем обе функции на одной координатной плоскости. Точки, где графики пересекаются, и будут решениями уравнения.

Шаг 4: Анализ графика

На графике видно, что гипербола и прямая пересекаются в двух точках. Приближенные координаты этих точек:

• В первой четверти: примерно (0.6, 1.6)
• Во второй четверти: примерно (-1, -1)

Точное решение найдем, решив уравнение алгебраически:

1/x = 2x + 1

Умножим обе стороны на x (при условии x ≠ 0):

1 = 2x² + x

Перенесем все в одну сторону:

2x² + x - 1 = 0

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9 \]

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2(2)} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = 0.5 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2(2)} = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \]

Получили те же значения x, что и на графике.

Ответ: x = 0.5, x = -1