3.10 Во сколько раз увеличится объем конуса, если радиус его основания увеличится в 3 раза, а высота уменьшится в 2 раза?

Решение:

Объем конуса вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \), где \( r \) — радиус основания, а \( h \) — высота.

Пусть \( V_1 \) — начальный объем конуса, \( r_1 \) — начальный радиус, \( h_1 \) — начальная высота.

\[ V_1 = \frac{1}{3} \pi r_1^2 h_1 \]

Пусть \( V_2 \) — новый объем конуса, \( r_2 \) — новый радиус, \( h_2 \) — новая высота.

По условию:

• \( r_2 = 3r_1 \)
• \( h_2 = \frac{h_1}{2} \)

Вычислим новый объем \( V_2 \):

\[ V_2 = \frac{1}{3} \pi r_2^2 h_2 \]\[ V_2 = \frac{1}{3} \pi (3r_1)^2 \left(\frac{h_1}{2}\right) \]\[ V_2 = \frac{1}{3} \pi (9r_1^2) \left(\frac{h_1}{2}\right) \]\[ V_2 = \frac{9}{2} \left(\frac{1}{3} \pi r_1^2 h_1\right) \]

Заметим, что \( \frac{1}{3} \pi r_1^2 h_1 = V_1 \). Следовательно:

\[ V_2 = \frac{9}{2} V_1 \]

Чтобы найти, во сколько раз увеличится объем, нужно разделить \( V_2 \) на \( V_1 \):

\[ \frac{V_2}{V_1} = \frac{\frac{9}{2} V_1}{V_1} = \frac{9}{2} \]

\( \frac{9}{2} = 4.5 \)

Ответ: в 4.5 раза.