3.11. а) Запишите уравнение прямой, которая проходит через точки А(2; 1) и В(-1; -1). б) Запишите уравнение прямой, которая проходит через точку А(1; 1) и отсекает от положительной полуоси ординат отрезок длины 2. в) Запишите уравнение прямой, которая отсекает от положительного направления осей координат отрезки длины 3. г) Запишите уравнение прямой, параллельной прямой, заданной уравнением 2х+у= 5 и проходящей через точку (4; 1).

Решение:

а) Уравнение прямой, проходящей через точки \( A(2; 1) \) и \( B(-1; -1) \).

Общий вид уравнения прямой: \( y = kx + b \).

Подставим координаты точек:

1. \( 1 = k · 2 + b \)
2. \( -1 = k · (-1) + b \)

Из второго уравнения: \( b = 1 + k \).

Подставим в первое: \( 1 = 2k + (1 + k) \) \( → 1 = 3k + 1 \) \( → 3k = 0 \) \( → k = 0 \).

Тогда \( b = 1 + 0 = 1 \).

Уравнение прямой: \( y = 0x + 1 \), то есть \( y = 1 \).

б) Уравнение прямой, проходящей через точку \( A(1; 1) \) и отсекающей отрезок 2 от положительной полуоси ординат.

Отрезок 2 от положительной полуоси ординат означает, что прямая проходит через точку \( (0; 2) \).

Используем общий вид уравнения прямой \( y = kx + b \). Точка \( (0; 2) \) означает, что \( b = 2 \).

Таким образом, уравнение имеет вид \( y = kx + 2 \).

Прямая проходит через точку \( A(1; 1) \), подставим ее координаты:

\( 1 = k · 1 + 2 \) \( → 1 = k + 2 \) \( → k = -1 \).

Уравнение прямой: \( y = -x + 2 \).

в) Уравнение прямой, отсекающей от положительного направления осей координат отрезки длины 3.

Это означает, что прямая проходит через точки \( (3; 0) \) и \( (0; 3) \).

Используем общий вид уравнения прямой \( y = kx + b \).

Через \( (0; 3) \) проходит, значит \( b = 3 \).

Уравнение: \( y = kx + 3 \).

Подставим \( (3; 0) \): \( 0 = k · 3 + 3 \) \( → 3k = -3 \) \( → k = -1 \).

Уравнение прямой: \( y = -x + 3 \).

г) Уравнение прямой, параллельной \( 2x + y = 5 \) и проходящей через \( (4; 1) \).

Найдем уравнение прямой \( 2x + y = 5 \) в виде \( y = kx + b \): \( y = -2x + 5 \). Угловой коэффициент \( k = -2 \).

Параллельная прямая будет иметь такой же угловой коэффициент, то есть \( y = -2x + b_1 \).

Эта прямая проходит через точку \( (4; 1) \). Подставим ее координаты:

\( 1 = -2 · 4 + b_1 \) \( → 1 = -8 + b_1 \) \( → b_1 = 9 \).

Уравнение искомой прямой: \( y = -2x + 9 \).

Ответ:
а) \( y = 1 \)
б) \( y = -x + 2 \)
в) \( y = -x + 3 \)
г) \( y = -2x + 9 \)