3.13. Упростите и выполните действия с рациональными выражениями: а) \(\frac{2x}{9-x^2}-\frac{6}{9-x^2}\); б) \(\frac{x^2+1}{xy-y^2}+\frac{y^2+1}{y^2-xy}\); в) \(\frac{3t}{49-t^2}-\frac{21}{49-t^2}\); г) \(\frac{p^2-2}{p^2-pq}+\frac{q^2-2}{pq-p^2}\).

Знаменатели одинаковы, поэтому объединяем дроби:

\(\frac{2x-6}{9-x^2}=\frac{2(x-3)}{(3-x)(3+x)}=-\frac{2}{x+3}\).

Ограничения: \(x\ne\pm3\).

Так как \(y^2-xy=-(xy-y^2)\), получаем:

\(\frac{x^2+1}{y(x-y)}-\frac{y^2+1}{y(x-y)}=\frac{x^2-y^2}{y(x-y)}=\frac{(x-y)(x+y)}{y(x-y)}=\frac{x+y}{y}\).

Ограничения: \(y\ne0\), \(x\ne y\).

Выносим общий множитель и раскладываем знаменатель на множители:

\(\frac{3t-21}{49-t^2}=\frac{3(t-7)}{(7-t)(7+t)}=-\frac{3}{t+7}\).

Ограничения: \(t\ne\pm7\).

Учитываем, что \(pq-p^2=-(p^2-pq)\):

\(\frac{p^2-2}{p(p-q)}-\frac{q^2-2}{p(p-q)}=\frac{p^2-q^2}{p(p-q)}=\frac{(p-q)(p+q)}{p(p-q)}=\frac{p+q}{p}\).

Ограничения: \(p\ne0\), \(p\ne q\).