3.2 ABCD — равнобедренная трапеция (AB = CD), O — точка пересечения диагоналей. Докажите, что AO = OD.

У равнобедренной трапеции есть ось симметрии — прямая, перпендикулярная основаниям и проходящая через их середины. При отражении относительно этой оси A переходит в D, B — в C, а диагональ AC — в диагональ DB. Поэтому точка их пересечения O остаётся на оси симметрии.

Точки A и D симметричны относительно этой оси, значит, ось является серединным перпендикуляром к AD. Поскольку O лежит на оси, он равноудалён от A и D: AO = OD.

Ответ: AO = OD.