3.2. Решите неравенство: \(\frac{\log_3(9x)\cdot\log_3\left(\frac{x}{9}\right)}{\log_3^2 x-1}\ge0\).

ОДЗ: \(x>0\), а знаменатель не равен нулю: \((\log_3 x)^2-1\ne0\), то есть \(\log_3x\ne\pm1\).

Обозначим \(t=\log_3x\). Тогда \(\log_3(9x)=t+2\), \(\log_3(x/9)=t-2\), поэтому неравенство принимает вид \(\frac{t^2-4}{t^2-1}\ge0\). Положив \(y=t^2\), получаем \(\frac{y-4}{y-1}\ge0\), откуда с учётом \(y\ge0\): \(0\le y<1\) или \(y\ge4\). Значит, \(-1<t<1\) или \(t\le-2\) или \(t\ge2\).

Переходя к \(x\), получаем \(\frac13<x<3\), либо \(0<x\le\frac19\), либо \(x\ge9\).

Ответ: \((0,\frac19]\cup(\frac13,3)\cup[9,+\infty)\).