3. (3 б) Доведіть тотожність: ctg \( (\frac{\pi}{4} – \alpha) \) = tg \( (\frac{\pi}{4} + \alpha) \)

3. Доведення тотожності

Доведемо тотожність \( \text{ctg } (\frac{\pi}{4} – \alpha) = \text{tg } (\frac{\pi}{4} + \alpha) \).

Розглянемо ліву частину:

1. Використаємо формулу \( \text{ctg}(A - B) = \frac{\text{ctg} A \text{ctg} B + 1}{\text{ctg} B - \text{ctg} A} \):
   • \( \text{ctg}(\frac{\pi}{4} – \alpha) = \frac{\text{ctg} \frac{\pi}{4} \text{ctg} \alpha + 1}{\text{ctg} \alpha - \text{ctg} \frac{\pi}{4}} \)
   • Оскільки \( \text{ctg} \frac{\pi}{4} = 1 \), отримуємо:
     • \( \frac{1 \cdot \text{ctg} \alpha + 1}{\text{ctg} \alpha - 1} = \frac{\text{ctg} \alpha + 1}{\text{ctg} \alpha - 1} \)
   • Запишемо \( \text{ctg} \alpha = \frac{1}{\text{tg} \alpha} \):
     • \( \frac{\frac{1}{\text{tg} \alpha} + 1}{\frac{1}{\text{tg} \alpha} - 1} = \frac{\frac{1 + \text{tg} \alpha}{\text{tg} \alpha}}{\frac{1 - \text{tg} \alpha}{\text{tg} \alpha}} = \frac{1 + \text{tg} \alpha}{1 - \text{tg} \alpha} \)

Розглянемо праву частину:

1. Використаємо формулу \( \text{tg}(A + B) = \frac{\text{tg} A + \text{tg} B}{1 - \text{tg} A \text{tg} B} \):
   • \( \text{tg}(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \frac{\text{tg} \frac{\pi}{4} + \text{tg} \alpha}{1 - \text{tg} \frac{\pi}{4} \text{tg} \alpha} \)
   • Оскільки \( \text{tg} \frac{\pi}{4} = 1 \), отримуємо:
     • \( \frac{1 + \text{tg} \alpha}{1 - 1 \cdot \text{tg} \alpha} = \frac{1 + \text{tg} \alpha}{1 - \text{tg} \alpha} \)

Оскільки ліва частина дорівнює правій частині, тотожність доведено.

Доведено.