3. (3 балла) Решите неравенство: 1) \( 2^{3x+6} \le \(\frac{1}{32}\)^{x-1} ; 2) (8-x)(2x+6) \(\le\) 0; 3) \(\log\)_5(3x+1)< 2.

Решение:

1. 1) \( 2^{3x+6} \le (\frac{1}{32})^{x-1} \)
   \( 2^{3x+6} \le (2^{-5})^{x-1} \)
   \( 2^{3x+6} \le 2^{-5(x-1)} \)
   \( 2^{3x+6} \le 2^{-5x+5} \)
   Так как основание степени \( 2 > 1 \), показатели степени сравниваем в том же направлении:
   \( 3x + 6 \le -5x + 5 \)
   \( 3x + 5x \le 5 - 6 \)
   \( 8x \le -1 \)
   \( x \le -\frac{1}{8} \)
2. 2) \( (8-x)(2x+6) \le 0 \)
   Найдём корни уравнения \( (8-x)(2x+6) = 0 \):
   \( 8-x = 0 \) или \( 2x+6 = 0 \)
   \( x = 8 \) или \( 2x = -6 \) \( \Rightarrow x = -3 \)
   Отметим корни на числовой оси: -3 и 8. Определим знаки на интервалах:
   При \( x < -3 \) (например, x = -4): \( (8-(-4))(2(-4)+6) = (12)(-8+6) = 12(-2) = -24 \) (минус).
   При \( -3 < x < 8 \) (например, x = 0): \( (8-0)(2(0)+6) = 8(6) = 48 \) (плюс).
   При \( x > 8 \) (например, x = 9): \( (8-9)(2(9)+6) = (-1)(18+6) = (-1)(24) = -24 \) (минус).
   Нам нужно \( \le 0 \), значит, интервалы, где знак минус, и точки, где равно нулю.
   \( x \in (-\infty; -3] \cup [8; +\infty) \)
3. 3) \( \log_5(3x+1) < 2 \)
   ОДЗ: \( 3x+1 > 0 \) \( \Rightarrow 3x > -1 \) \( \Rightarrow x > -\frac{1}{3} \).
   Так как основание логарифма \( 5 > 1 \), неравенство для аргументов будет в том же направлении:
   \( 3x+1 < 5^2 \)
   \( 3x+1 < 25 \)
   \( 3x < 24 \)
   \( x < 8 \)
   Учитывая ОДЗ \( x > -\frac{1}{3} \), получаем:
   \( x \in (-\frac{1}{3}; 8) \)

Ответ: 1) \( x \le -\frac{1}{8} \); 2) \( x \in (-\infty; -3] \cup [8; +\infty) \); 3) \( x \in (-\frac{1}{3}; 8) \).