3.3. Как из 81 внешне одинаковых монет, среди которых одна фальшивая, легче настоящих всего за 4 взвешивания на чашечных весах без гирь найти фальшивую монету?

Краткое пояснение:

Эта задача решается аналогично предыдущей, используя принцип деления на три группы. Каждое взвешивание позволяет сузить поиск фальшивой монеты до трети от предыдущего количества, что является оптимальной стратегией.

Решение:

Мы можем применить тот же метод деления на три группы, что и в предыдущей задаче, но с большим количеством монет.

• Шаг 1: Первое взвешивание. Разделим 81 монету на три группы по 27 монет в каждой. Положим одну группу из 27 монет на одну чашу весов, а другую группу из 27 монет — на другую.
  • Если весы уравновешены: Фальшивая монета находится в оставшейся третьей группе из 27 монет.
  • Если одна чаша перевешивает: Фальшивая монета находится в той группе из 27 монет, которая отличается по весу (легче или тяжелее).
• Шаг 2: Второе взвешивание. У нас есть группа из 27 монет, в которой находится фальшивая. Как мы уже знаем из предыдущей задачи, 27 монет можно проверить за 2 взвешивания. Разделим эти 27 монет на три группы по 9 монет. Положим одну группу из 9 монет на одну чашу весов, а другую группу из 9 монет — на другую.
  • Если весы уравновешены: Фальшивая монета находится в оставшейся третьей группе из 9 монет.
  • Если одна чаша перевешивает: Фальшивая монета находится в той группе из 9 монет, которая отличается по весу.
• Шаг 3: Третье взвешивание. Теперь у нас есть группа из 9 монет, в которой находится фальшивая. Разделим эти 9 монет на три группы по 3 монеты. Положим одну группу из 3 монет на одну чашу весов, а другую группу из 3 монет — на другую.
  • Если весы уравновешены: Фальшивая монета находится в оставшейся третьей группе из 3 монет.
  • Если одна чаша перевешивает: Фальшивая монета находится в той группе из 3 монет, которая отличается по весу.
• Шаг 4: Четвертое взвешивание. Наконец, у нас есть группа из 3 монет, одна из которых фальшивая. Возьмем две монеты из этой группы и положим по одной на каждую чашу весов.
  • Если весы уравновешены: Фальшивая монета — это третья монета, которую мы не взвешивали.
  • Если одна чаша перевешивает: Фальшивая монета — это та, которая находится на более легкой или более тяжелой чаше (в зависимости от того, как фальшивая монета отличается по весу).

Таким образом, за 4 взвешивания мы можем найти фальшивую монету из 81.