3.5. Есть 23 внешне одинаковые монеты: 20 настоящих и 3 фальшивые. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь найти 7 заведомо настоящих монет? Известно, что все настоящие монеты весят одинаково, все фальшивые также весят одинаково, но фальшивая монета легче настоящей.

Краткое пояснение:

Эта задача требует нестандартного подхода, поскольку мы ищем настоящие монеты, а не фальшивую. Ключевым условием является то, что фальшивые монеты легче настоящих, что позволяет нам определить их по легкости.

Решение:

У нас есть 23 монеты (20 настоящих, 3 фальшивые). Фальшивые монеты легче настоящих. Наша цель — найти 7 настоящих монет за 2 взвешивания.

• Шаг 1: Первое взвешивание. Разделим 23 монеты на три группы: 8 монет, 8 монет и 7 монет. Положим одну группу из 8 монет на левую чашу весов, а другую группу из 8 монет — на правую чашу весов.
  • Сценарий 1: Весы уравновешены. Это означает, что все 16 монет на весах — настоящие. В этом случае мы уже нашли 16 настоящих монет, что больше, чем нам нужно (7).
  • Сценарий 2: Одна из чаш перевешивает. Та чаша, которая легче, содержит хотя бы одну фальшивую монету. Та чаша, которая тяжелее, состоит полностью из настоящих монет. В этом случае, мы уже нашли 8 настоящих монет.
• Шаг 2: Второе взвешивание.
  • Если в первом взвешивании весы уравновешены: Мы знаем, что все 16 монет (по 8 с каждой чаши) — настоящие. Мы можем взять любые 7 монет из этих 16, и они будут заведомо настоящими.
  • Если в первом взвешивании одна из чаш была легче: Мы знаем, что 8 монет на более тяжелой чаше — настоящие. Мы можем взять любые 7 монет из этих 8, и они будут заведомо настоящими.

Таким образом, за два взвешивания мы гарантированно находим 7 заведомо настоящих монет, используя тот факт, что фальшивые монеты легче настоящих.