3.3. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с острым углом 30° и гипотенузой 2 см. Боковое ребро, проходящее через вершину данного острого угла, перпендикулярно плоскости основания, боковая грань, содержащая катет, противолежащий данному углу, наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найти объём пирамиды.

Обозначим основание пирамиды как прямоугольный треугольник \(ABC\), где \(\angle C=90^\circ\), \(\angle A=30^\circ\), \(AB=2\) см. Пусть вершина пирамиды — \(S\), а перпендикулярное основанию боковое ребро — \(SA\).

В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу \(30^\circ\), равен половине гипотенузы: \(BC=1\) см. Второй катет \(AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt3\) см.

Плоскость боковой грани \(SBC\) пересекает плоскость основания по прямой \(BC\). Так как \(SA\perp(ABC)\), расстояние от точки \(A\) до прямой \(BC\) равно \(AC\), и угол между плоскостями удовлетворяет \(\tan 60^\circ=\frac{SA}{AC}\). Поэтому высота пирамиды \(SA=\sqrt3\cdot\sqrt3=3\) см.

Площадь основания: \(S_{ABC}=\frac12 AC\cdot BC=\frac{\sqrt3}{2}\) см². Тогда

\[V=\frac13 S_{ABC}\cdot SA=\frac13\cdot\frac{\sqrt3}{2}\cdot3=\frac{\sqrt3}{2}\text{ см}^3.\]

Ответ: \(\frac{\sqrt3}{2}\) см³.