3.4.6. Решите уравнения: 1) \(\dfrac{2}{x-2}-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{3}{(x+1)(x-2)}+1\); 2) \(\dfrac{5}{(x+3)(x-1)}+\dfrac{3}{x-1}=\dfrac{10}{x+3}+2\); 3) \(\dfrac{3}{4-x^2}-\dfrac{2}{x+2}=\dfrac{6}{2-x}-3\); 4) \(\dfrac{3}{3+x}+\dfrac{5}{x-3}=\dfrac{10}{x^2-9}+4\).

1) Область допустимых значений: \(x\ne2\), \(x\ne-1\). Объединим дроби слева:

\(\dfrac{2(x+1)-(x-2)}{(x+1)(x-2)}=\dfrac{3}{(x+1)(x-2)}+1\),

\(\dfrac{x+4}{(x+1)(x-2)}=\dfrac{3}{(x+1)(x-2)}+1\).

Умножим на общий знаменатель: \(x+4=3+(x+1)(x-2)\). Получаем \(x^2-2x-3=0\), то есть \((x-3)(x+1)=0\). Корень \(x=-1\) не входит в ОДЗ, поэтому остаётся \(x=3\).

2) Область допустимых значений: \(x\ne-3\), \(x\ne1\). Умножим уравнение на \((x+3)(x-1)\):

\(5+3(x+3)=10(x-1)+2(x+3)(x-1)\).

\(3x+14=2x^2+14x-16\), откуда \(2x^2+11x-30=0\).

\(x=\dfrac{-11\pm19}{4}\), поэтому \(x=2\) или \(x=-\dfrac{15}{2}\). Оба корня допустимы.

3) Область допустимых значений: \(x\ne2\), \(x\ne-2\). Используем равенство \(4-x^2=(2-x)(x+2)\):

\(\dfrac{3-2(2-x)}{(2-x)(x+2)}=\dfrac{6-3(x+2)}{2-x}\).

После упрощения и умножения на общий знаменатель получаем \(2x-1=-3x(x+2)\), то есть \(3x^2+8x-1=0\).

Следовательно, \(x=\dfrac{-4\pm\sqrt{19}}{3}\). Эти значения не равны \(2\) или \(-2\), значит, оба подходят.

4) Область допустимых значений: \(x\ne3\), \(x\ne-3\). Так как \(x^2-9=(x+3)(x-3)\), умножим уравнение на \(x^2-9\):

\(3(x-3)+5(x+3)=10+4(x^2-9)\).

\(8x+6=4x^2-26\), откуда \(x^2-2x-8=0\).

\((x-4)(x+2)=0\), поэтому \(x=4\) или \(x=-2\). Оба значения допустимы.

Ответ: 1) \(x=3\); 2) \(x=2; -\dfrac{15}{2}\); 3) \(x=\dfrac{-4+\sqrt{19}}{3}; \dfrac{-4-\sqrt{19}}{3}\); 4) \(x=4; -2\).