3.4 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины ребер A1B₁ = 15, BC = 4√√3, DD₁ = 11. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки А1, В1 и С.

Решение:

Дано прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1.

Известны длины рёбер:

• \( A_1B_1 = 15 \)
• \( BC = 4\sqrt{3} \)
• \( DD_1 = 11 \)

В прямоугольном параллелепипеде:

• \( A_1B_1 = AB = CD = C_1D_1 = 15 \)
• \( BC = AD = B_1C_1 = A_1D_1 = 4\sqrt{3} \)
• \( AA_1 = BB_1 = CC_1 = DD_1 = 11 \)

Плоскость проходит через точки \( A_1, B_1, C \).

Сечение параллелепипеда этой плоскостью является параллелограммом \( A_1B_1CK \), где K — точка на ребре \( C_1D_1 \) такая, что \( CK \) параллельно \( A_1B_1 \).

Однако, в данном случае, плоскость проходит через три вершины: \( A_1 \), \( B_1 \) и \( C \). Поскольку \( A_1B_1 \) параллельно \( DC \) и \( A_1D_1 \) параллельно \( B_1C_1 \), то прямая \( A_1B_1 \) параллельна плоскости \( DCC_1D_1 \).

Точка \( C \) лежит в плоскости \( DCC_1D_1 \).

Плоскость \( A_1B_1C \) пересекает грань \( CC_1D_1D \) по прямой \( CK \), параллельной \( A_1B_1 \). Следовательно, \( CK \) параллельна \( D_1C_1 \) и \( AB \).

В параллелограмме \( A_1B_1CK \):

• Одна сторона \( A_1B_1 = 15 \).
• Вторая сторона \( B_1C \) — диагональ грани \( BB_1C_1C \). \( B_1C = \sqrt{BB_1^2 + BC^2} = \sqrt{11^2 + (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{121 + 16 \cdot 3} = \sqrt{121 + 48} = \sqrt{169} = 13 \).

Для нахождения площади параллелограмма \( A_1B_1CK \) нам нужно знать угол между сторонами \( A_1B_1 \) и \( B_1C \) или высоту, опущенную на основание \( A_1B_1 \).

Рассмотрим проекцию сечения на основание \( ABCD \). Точки \( B \) и \( C \) лежат в плоскости основания. Точка \( A_1 \) находится над \( A \), а \( B_1 \) над \( B \).

Проведем из \( C \) перпендикуляр \( CH \) к прямой \( A_1B_1 \). В прямоугольном параллелепипеде, \( CH \) будет иметь длину, равную \( BC \), если \( A_1B_1 \) параллельна \( DC \).

Рассмотрим треугольник \( B_1BC \). Он прямоугольный с катетами \( BB_1 = 11 \) и \( BC = 4\sqrt{3} \). Гипотенуза \( B_1C = 13 \).

Рассмотрим треугольник \( A_1B_1C \). Стороны \( A_1B_1 = 15 \). Нам нужно найти длину \( A_1C \) и \( B_1C \). Мы уже нашли \( B_1C = 13 \).

\( A_1C \) — это диагональ прямоугольника \( AA_1C_1D_1 \). \( A_1C = \sqrt{A_1D_1^2 + C_1D_1^2} = \sqrt{(4\sqrt{3})^2 + 15^2} = \sqrt{48 + 225} = \sqrt{273} \).

Сечение — это параллелограмм \( A_1B_1CK \). Мы знаем \( A_1B_1 = 15 \). \( B_1C = 13 \). \( CK = A_1B_1 = 15 \). \( A_1K = B_1C = 13 \).

Чтобы найти площадь параллелограмма, нужно найти высоту. Рассмотрим проекцию \( B_1 \) на плоскость \( ABC \) — это \( B \). Рассмотрим проекцию \( C \) на плоскость \( A_1B_1 \) — это \( C \) (так как \( C \) лежит в плоскости \( B_1C_1C \)).

Площадь параллелограмма \( S = ab \cdot \sin \alpha \), где \( \alpha \) — угол между сторонами \( a \) и \( b \).

Рассмотрим плоскость \( BB_1C_1C \). Плоскость \( A_1B_1C \) пересекает эту грань по диагонали \( B_1C \).

Рассмотрим проекцию точки \( A_1 \) на плоскость \( DCC_1D_1 \) — это точка \( D_1 \).

Плоскость \( A_1B_1C \) проходит через \( A_1, B_1 \) и \( C \). Так как \( A_1B_1 \) параллельна \( DC \), то точка \( K \) на \( C_1D_1 \) такая, что \( CK \) параллельна \( A_1B_1 \) и \( CK = 15 \).

Сечение — это параллелограмм \( A_1B_1CK \).

Его стороны \( A_1B_1 = 15 \) и \( B_1C = 13 \). Нам нужно найти высоту.

Опустим перпендикуляр из \( C \) на прямую \( A_1B_1 \). Это перпендикуляр будет \( CB \), так как \( CB \) перпендикулярна \( AB \) и \( BB_1 \), а \( A_1B_1 \) параллельна \( AB \).

Высота параллелограмма \( A_1B_1CK \), опущенная на основание \( A_1B_1 \), равна \( BC = 4\sqrt{3} \).

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту:

\( S_{A_1B_1CK} = A_1B_1 \cdot BC \)

\( S_{A_1B_1CK} = 15 \cdot 4\sqrt{3} = 60\sqrt{3} \)

Ответ: $$60\sqrt{3}$$