3.56. Решите неравенства: а) (x − 8)(x + 2) ≥ 0; б) (x + 3)(x − 2)(x + 10) ≤ 0; в) −(x + 7,8)(x − 2/7)(x + 1) > 0; г) (5 − x)(2x + 1)x < 0; д) (x − 2)(3 − x)(x + √7) < 0; е) (x² + 3x)(2x − 1) ≤ 0; ж) 2x³ − x² − 3x ≥ 0.

Для каждого неравенства найдём нули множителей и определим знак произведения на промежутках между ними. Граничные точки включаем при нестрогом знаке.

1. а) Нули: −2 и 8. Произведение неотрицательно вне промежутка между корнями: (−∞; −2] ∪ [8; +∞).
2. б) Нули: −10, −3 и 2. Знак произведения чередуется; оно неположительно на промежутках (−∞; −10] и [−3; 2]. Ответ: (−∞; −10] ∪ [−3; 2].
3. в) Переносим минус в условие о знаке: произведение трёх множителей должно быть отрицательным. Нули: −7,8, −1 и 2/7. Получаем (−∞; −7,8) ∪ (−1; 2/7).
4. г) Нули: −1/2, 0 и 5. Проверка знаков множителей даёт отрицательное произведение на (−∞; −1/2) ∪ (5; +∞).
5. д) Нули: −√7, 2 и 3. Учитывая множитель 3 − x, получаем отрицательное произведение на (−√7; 2) ∪ (3; +∞).
6. е) Разложение: x(x + 3)(2x − 1) ≤ 0. Нули: −3, 0 и 1/2. Ответ: (−∞; −3] ∪ [0; 1/2].
7. ж) Разложение: x(2x² − x − 3) = x(2x − 3)(x + 1). Нули: −1, 0 и 3/2. Произведение неотрицательно на [−1; 0] ∪ [3/2; +∞).