3.58. Решите неравенства: а) x³ − 3x² − 4x + 12 < 0; б) (x² + 4x + 3)(x − 2) < (x² − 2x − 3)(x + 3); в) (x² + 10x + 16)² > (x² + 10x + 26)²; г) (x − 3)²(13 − 4x − x²) < (x − 3)²(x² + 11x − 4).

Question

Вопрос:

Accepted Answer

а) Группируем слагаемые: x²(x − 3) − 4(x − 3) = (x − 3)(x − 2)(x + 2). Знак отрицателен на (−∞; −2) ∪ (2; 3).
б) Переносим правую часть влево и раскладываем: (x + 1)(x + 3)((x − 2) − (x − 3)) < 0, то есть (x + 1)(x + 3) < 0. Ответ: (−3; −1).
в) Обозначим A = x² + 10x + 16. Тогда неравенство имеет вид A² > (A + 10)². После раскрытия скобок получаем A < −5, то есть x² + 10x + 21 > 0. Разложение: (x + 3)(x + 7) > 0. Ответ: (−∞; −7) ∪ (−3; +∞).
г) Переносим правую часть влево: (x − 3)²(17 − 15x − 2x²) < 0, или −(x − 3)²(x − 1)(2x + 17) < 0. Необходимо (x − 1)(2x + 17) > 0 и x ≠ 3. Ответ: (−∞; −17/2) ∪ (1; 3) ∪ (3; +∞).

Ответ: