3.57. Решите неравенства: а) x²(x − 3) < 0; б) (x − 3)²(x − 8)(x + 2) ≥ 0; в) x²(x + 7)³(1 − x) ≥ 0; г) (3 − x)(x² − 16)(25x² + 1) ≤ 0; д) (9x² − 6x + 1)(4x² − 1) ≥ 0; е) (4 − x)(x² − 9)(5x² − 2x + 1) ≤ 0; ж) (−x² + 8x − 18)(3x² − 2x − 5)(x + 1)⁴ ≥ 0; з) (x² − 6x + 8)(x² − 11x + 28) < 0; и) (x² − 4)(x² − 5x + 6) ≥ 0.

Используем разложение на множители и учитываем кратность корней: при чётной кратности знак не меняется. Квадратные трёхчлены, которые всегда положительны или неотрицательны, учитываем отдельно.

1. а) Так как x² > 0 при x ≠ 0, нужно x − 3 < 0 и x ≠ 0. Ответ: (−∞; 0) ∪ (0; 3).
2. б) Квадрат (x − 3)² неотрицателен, а (x − 8)(x + 2) ≥ 0 при x ≤ −2 или x ≥ 8. Кроме того, при x = 3 всё произведение равно нулю. Ответ: (−∞; −2] ∪ {3} ∪ [8; +∞).
3. в) Нули множителей: −7, 0 и 1. Знак произведения неотрицателен на отрезке между −7 и 1; нули включаются. Ответ: [−7; 1].
4. г) Множитель 25x² + 1 всегда положителен. Остальные множители дают неположительное произведение на [−4; 3] ∪ [4; +∞).
5. д) 9x² − 6x + 1 = (3x − 1)², а 4x² − 1 = (2x − 1)(2x + 1). Второй множитель неотрицателен при x ≤ −1/2 или x ≥ 1/2; квадрат обращается в ноль при x = 1/3. Ответ: (−∞; −1/2] ∪ {1/3} ∪ [1/2; +∞).
6. е) 5x² − 2x + 1 > 0, поскольку его дискриминант отрицателен. Знак оставшихся множителей неположителен при x ≥ −3. Ответ: [−3; +∞).
7. ж) −x² + 8x − 18 = −((x − 4)² + 2) < 0. Также 3x² − 2x − 5 = (x + 1)(3x − 5), а (x + 1)⁴ ≥ 0. Произведение неотрицательно при −1 ≤ x ≤ 5/3. Ответ: [−1; 5/3].
8. з) Разложение: (x − 2)(x − 4)²(x − 7) < 0. Квадратный множитель положителен при x ≠ 4, поэтому решение: (2; 4) ∪ (4; 7).
9. и) Разложение: (x − 2)²(x + 2)(x − 3) ≥ 0. Произведение двух последних множителей неотрицательно при x ≤ −2 или x ≥ 3; отдельно x = 2 обращает квадратный множитель в ноль. Ответ: (−∞; −2] ∪ {2} ∪ [3; +∞).