3.6 Объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины, равен 11. Найдите объём куба.

Решение:

Пусть куб имеет ребро длиной \( a \). Объём куба равен \( V_{куба} = a^3 \).

Рассмотрим вершину куба. Плоскость, проходящая через середины двух рёбер, выходящих из этой вершины, и параллельная третьему ребру, отсекает от куба треугольную пирамиду. Однако, в условии сказано про треугольную призму. Будем исходить из того, что речь идёт о многограннике, который можно получить, например, отсекая от куба часть по указанным условиям. Если отсекаемая часть является треугольной призмой, и её объём равен 11, то объем этой призмы составляет \( \frac{1}{8} \) от объёма куба (если отсекаются три ребра от вершины, то это кубический объём, а не призматический).

Предположим, что отсекается часть куба, объём которой составляет \( \frac{1}{8} \) объёма куба. Эта часть является треугольной пирамидой, если плоскость проходит через три вершины, удалённые от одной вершины куба. Если же плоскость проходит через середины двух рёбер и параллельна третьему, то отсекается многогранник, объём которого равен \( \frac{1}{8} \) объёма куба. Например, если от одной вершины куба провести плоскость через середины двух смежных рёбер и третью вершину, не лежащую на этих рёбрах, то отсечётся треугольная пирамида.

Если объём отсекаемой треугольной призмы равен 11, то объем куба равен:

\[ V_{куба} = 8 \cdot V_{призмы} = 8 \cdot 11 = 88 \]

Ответ: 88