3.7 От треугольной пирамиды SABC, объем которой равен 36, отсекли треугольную пирамиду плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Чему равен объем отсеченной треугольной пирамиды?

Решение:

Пусть объём исходной пирамиды \( SABC \) равен \( V_{SABC} = 36 \).

Плоскость проходит через вершину \( S \) и среднюю линию основания. Пусть \( MN \) — средняя линия основания \( ABC \).

Плоскость \( SMN \) отсекает от пирамиды \( SABC \) меньшую пирамиду \( SMNC \) (или \( SMNB \), в зависимости от того, какие вершины основания выбраны).

Когда плоскость проходит через вершину и среднюю линию основания, она делит основание на две части. Средняя линия параллельна одной из сторон основания и равна её половине. Если \( MN \) — средняя линия, параллельная \( AC \), то \( MN = \frac{1}{2} AC \). Точка \( M \) лежит на \( AB \), а \( N \) — на \( BC \).

Площадь треугольника \( SMN \) (или \( SBN \), \( ABM \)) будет связана с площадью основания \( ABC \).

Если плоскость проходит через вершину \( S \) и среднюю линию \( MN \), то она делит основание \( ABC \) на два многоугольника: треугольник \( MBN \) и четырёхугольник \( AMNC \).

Треугольник \( MBN \) подобен треугольнику \( ABC \) с коэффициентом подобия \( k = \frac{1}{2} \) (так как \( BM = \frac{1}{2} BA \) и \( BN = \frac{1}{2} BC \)).

Площадь треугольника \( SBN \) (или \( SAM \)) будет связана с площадью \( SABC \).

Если плоскость проходит через вершину \( S \) и среднюю линию основания \( MN \) (параллельную \( AC \), \( M \) на \( AB \), \( N \) на \( BC \)), то отсекается пирамида \( SBNM \).

Объём пирамиды \( SBNM \) относится к объёму пирамиды \( SABC \) как отношение их оснований, если у них одна высота. Высота у них одна — \( h \) (высота от \( S \) до плоскости \( ABC \)).

Площадь треугольника \( SBN \) равна \( \frac{1}{2} \text{Area}(SBC) \) если \( N \) — середина \( BC \).

Если плоскость проходит через вершину \( S \) и среднюю линию \( MN \) основания \( ABC \) (где \( M \) на \( AB \), \( N \) на \( BC \) и \( MN \) параллельна \( AC \)), то отсекается пирамида \( S M N \) (или \( SBMN \)).

Площадь треугольника \( MBN \) составляет \( (1/2)^2 = 1/4 \) площади треугольника \( ABC \).

Объём отсеченной треугольной пирамиды \( SBMN \) будет равен \( \frac{1}{4} \) объёма исходной пирамиды \( SABC \).

\[ V_{отсечённой} = \frac{1}{4} V_{SABC} = \frac{1}{4} \cdot 36 = 9 \]

Ответ: 9