3. (7 баллов) В равностороннем треугольнике ABC проведена биссектриса BM, равная 30 см. Найдите расстояние от точки M до прямой AB.

В равностороннем треугольнике биссектриса является также высотой, поэтому \(BM\perp AC\). Так как \(BM=30\) см, высота треугольника равна \(30\) см.

Точка \(M\) — середина стороны \(AC\). Расстояние от точки \(M\) до прямой \(AB\) равно высоте прямоугольного треугольника \(ABM\), опущенной на гипотенузу \(AB\). Угол \(A=60^\circ\), поэтому

\[d(M,AB)=AM\sin 60^\circ.\]

Из свойства медианы равностороннего треугольника: \(AM=\frac{AC}{2}\), а \(BM=\frac{\sqrt3}{2}AC\). Следовательно, \(AM=\frac{30}{\sqrt3}=10\sqrt3\) см.

Тогда

\[d(M,AB)=10\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}=15\text{ см}.\]

Ответ: 15 см.