5. (7 баллов) Найдите углы треугольника ABC, если известно, что он равнобедренный с основанием AC и при пересечении биссектрис углов B и C образовались углы, один из которых равен 78°.

Так как треугольник \(ABC\) равнобедренный с основанием \(AC\), то \(\angle A=\angle C\). Обозначим \(\angle A=\angle C=\alpha\), тогда \(\angle B=180^\circ-2\alpha\).

Биссектрисы углов \(B\) и \(C\) пересекаются в центре вписанной окружности \(I\). Угол между лучами \(IB\) и \(IC\) равен

\[\angle BIC=90^\circ+\frac{\angle A}{2}=90^\circ+\frac\alpha2.\]

Второй угол, образованный пересекающимися биссектрисами, является смежным с ним, поэтому он равен

\[180^\circ-\left(90^\circ+\frac\alpha2\right)=90^\circ-\frac\alpha2.\]

Поскольку один из углов равен \(78^\circ\), меньший угол равен \(78^\circ\):

\[90^\circ-\frac\alpha2=78^\circ,\qquad \frac\alpha2=12^\circ,\qquad \alpha=24^\circ.\]

Следовательно,

\[\angle A=\angle C=24^\circ,\qquad \angle B=180^\circ-24^\circ-24^\circ=132^\circ.\]

Ответ: \(\angle A=24^\circ\), \(\angle B=132^\circ\), \(\angle C=24^\circ\).