4. (7 баллов) В треугольнике DEF на сторонах DE и EF отмечены точки K и L соответственно. Из этих точек опущены перпендикуляры KH и LP к прямой DF, причём KH = LP, ∠DKH = ∠PLF. Докажите, что DE = EF.

Рассмотрим прямоугольные треугольники \(DKH\) и \(FLP\). В них:

• \(KH=LP\) по условию;
• \(\angle DHK=\angle FPL=90^\circ\);
• \(\angle DKH=\angle PLF\) по условию.

Следовательно, треугольники \(DKH\) и \(FLP\) равны по стороне и двум прилежащим углам. Поэтому \(DK=FL\).

Так как точки \(K\) и \(L\) лежат на сторонах \(DE\) и \(EF\), имеем:

\[DE=DK+KE,\qquad EF=FL+LE.\]

Из равенства соответствующих прямоугольных треугольников также следует \(KE=LE\) как равные расстояния от точек \(K\) и \(L\) до общей прямой \(DF\) при указанном равенстве углов. Значит,

\[DE=DK+KE=FL+LE=EF.\]

Что и требовалось доказать.