3.8. Решите способом подстановки систему уравнений: 1) x + y = 4, 1/x + 1/y = 1; 2) x − y = 2, 10/x + 1/y = 3; 3) x + y − 12 = 0, 1/x + 1/y = 0,375; 4) x − y = 4, 1/x − 1/y = −0,8; 5) x − y = 5, 1/x + 1/y = 1/6; 6) 0,5x − y = 1, 1/x − 1/y = −1/3.

1) Из первого уравнения: \(y=4-x\). Тогда \(\frac1x+\frac1{4-x}=1\), поэтому \(\frac4{x(4-x)}=1\). Получаем \(x(4-x)=4\), или \((x-2)^2=0\). Значит, \(x=2\), \(y=2\).

Ответ: \((2;2)\).

2) Из первого уравнения: \(y=x-2\). Тогда \(\frac{10}{x}+\frac1{x-2}=3\). После умножения на \(x(x-2)\): \(10(x-2)+x=3x(x-2)\), то есть \(3x^2-17x+20=0\). Корни: \(x=4\) и \(x=\frac53\). Соответственно, \(y=2\) и \(y=-\frac13\).

Ответ: \((4;2)\), \(\left(\frac53;-\frac13\right)\).

3) Из первого уравнения: \(y=12-x\). Так как \(0,375=\frac38\), получаем \(\frac{12}{x(12-x)}=\frac38\). Следовательно, \(x(12-x)=32\), откуда \(x^2-12x+32=0\). Поэтому \(x=4\) или \(x=8\), а \(y=8\) или \(y=4\).

Ответ: \((4;8)\), \((8;4)\).

4) Из первого уравнения: \(y=x-4\). Тогда \(\frac1x-\frac1{x-4}=-\frac45\), поэтому \(\frac{-4}{x(x-4)}=-\frac45\). Получаем \(x(x-4)=5\), или \(x^2-4x-5=0\). Отсюда \(x=5\) или \(x=-1\). Значения \(y\): \(1\) и \(-5\).

Ответ: \((5;1)\), \((-1;-5)\).

5) Из первого уравнения: \(y=x-5\). Тогда \(\frac1x+\frac1{x-5}=\frac16\). После умножения: \(6(2x-5)=x(x-5)\), то есть \(x^2-17x+30=0\). Корни: \(x=15\) и \(x=2\). Значения \(y\): \(10\) и \(-3\).

Ответ: \((15;10)\), \((2;-3)\).

6) Из первого уравнения: \(y=0,5x-1=\frac{x-2}{2}\). Подставляя во второе, получаем \(\frac1x-\frac1y=-\frac13\), откуда \(3(x-y)=xy\). После подстановки: \(3(x+2)=x(x-2)\), или \(x^2-5x-6=0\). Поэтому \(x=6\) или \(x=-1\). Значения \(y\): \(2\) и \(-1,5\).

Ответ: \((6;2)\), \((-1;-1,5)\).