3. A(4,1), B(3,5), C(-1,4), D(0,0). Доказать, что четырёхугольник ABCD — прямоугольник.

Найдём координаты сторон:

\(\overrightarrow{AB}=(3-4,5-1)=(-1,4)\), \(\overrightarrow{BC}=(-1-3,4-5)=(-4,-1)\).

\(\overrightarrow{CD}=(0-(-1),0-4)=(1,-4)=-\overrightarrow{AB}\), а \(\overrightarrow{DA}=(4-0,1-0)=(4,1)=-\overrightarrow{BC}\). Значит, противоположные стороны попарно параллельны, и ABCD — параллелограмм.

Проверим перпендикулярность соседних сторон: \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=(-1)(-4)+4(-1)=4-4=0\). Следовательно, соседние стороны перпендикулярны.

Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником. Следовательно, ABCD — прямоугольник.