3. А) В каком наибольшем числе точек могут пересекаться 100 прямых, если ровно 11 из них параллельны друг другу? Ответ обоснуйте. Б) В каком наибольшем числе точек могут пересекаться 100 прямых, если ровно 11 из них проходят через одну точку? Ответ обоснуйте.

А) Чтобы число точек пересечения было наибольшим, остальные прямые должны пересекаться попарно в разных точках, а тройных пересечений быть не должно. Всего пар прямых \(\binom{100}{2}=4950\). Среди 11 параллельных прямых имеется \(\binom{11}{2}=55\) пар, не дающих пересечений. Поэтому максимум равен \(4950-55=4895\).

Б) При общем положении остальных прямых все пары дали бы \(\binom{100}{2}=4950\) различных точек. Одиннадцать прямых, проходящих через одну точку, образуют \(\binom{11}{2}=55\) пар, но дают одну точку пересечения. Значит, число точек уменьшается на 54: \(4950-54=4896\).

Ответ: А) 4895 точек; Б) 4896 точек.