3. а) В прямоугольном ДАРЕ: ∠A=30°, РЕ = 3 см. Найти АЕ. б) В прямоугольном ДАРЕ: АЕ = 3,2 см, АР = 1,6 см. Найти ДЕ. в) В прямоугольном ДАРЕ: ∠E=30°, АЕ = 5,2 см. Найти АР.

Краткое пояснение:

Задачи решаются с помощью тригонометрических соотношений в прямоугольном треугольнике (синус, косинус, тангенс).

Пошаговое решение:

1. а) Найти АЕ:
   Дан прямоугольный треугольник ДАРЕ, где ∠A=30°, РЕ=3 см. Угол D — прямой (90°).
   Нам нужно найти гипотенузу АЕ.
   Используем синус угла E: \( Син(Е) = \frac{DP}{AE} \), где DP — катет, противолежащий углу E.
   Однако, нам дана сторона РЕ, которая является катетом, противолежащим углу А. Угол E = 90° - 30° = 60°.
   Используем синус угла А: \( Син(30^°) = \frac{PE}{AE} \).
   \( \frac{1}{2} = \frac{3}{AE} \)
   \( AE = 3 \cdot 2 = 6 \) см.
2. б) Найти ДЕ:
   Дан прямоугольный треугольник ДАРЕ, АЕ = 3,2 см (гипотенуза), АР = 1,6 см (катет).
   Используем теорему Пифагора: \( AE^2 = AP^2 + PE^2 \)
   \( (3,2)^2 = (1,6)^2 + PE^2 \)
   \( 10,24 = 2,56 + PE^2 \)
   \( PE^2 = 10,24 - 2,56 = 7,68 \)
   \( PE = √{7,68} \approx 2,77 \) см.
   Теперь найдем ДЕ. У нас есть прямоугольный треугольник ДАРЕ, но нам не дано, какой угол прямой. Судя по рисунку, угол D прямой. Поэтому ДЕ - это катет.
   В прямоугольном треугольнике ДАРЕ, угол D=90°. АЕ=3.2, АР=1.6. Найдем PE по Пифагору: $$PE^2 = AE^2 - AP^2 = (3.2)^2 - (1.6)^2 = 10.24 - 2.56 = 7.68$$. $$PE = √{7.68} ≈ 2.77$$.
   В условии задачи, скорее всего, имеется в виду треугольник АРЕ, где угол Р прямой, и нужно найти РЕ. В таком случае, мы уже нашли PE. Если же это треугольник ДАРЕ, и D прямой, то ДЕ - это катет.
   Если же Р - прямой угол, то в прямоугольном треугольнике АРЕ: $$AE^2 = AP^2 + PE^2$$. \( 3.2^2 = 1.6^2 + PE^2 \) \( 10.24 = 2.56 + PE^2 \) \( PE^2 = 7.68 \) \( PE ≈ 2.77 \) см. Но это не ДЕ.
   Предположим, что в задании опечатка и речь идет о треугольнике АРE, и нужно найти РЕ. Тогда ответ 2.77 см. Если же в треугольнике ДАРЕ угол D прямой, и АЕ - гипотенуза, АР - катет, то ДЕ - это другой катет. В таком случае, нам нужно знать либо угол A, либо угол E, либо второй катет PE, чтобы найти ДЕ.
   Перечитаем задачу: «В прямоугольном ДАРЕ: АЕ = 3,2 см, АР = 1,6 см. Найти ДЕ.»
   Если D - прямой угол, то АЕ - гипотенуза. АР и PE - катеты. Если АР = 1.6, то чтобы найти ДЕ, нам нужен угол А или Е. Если жеАР - это длина отрезка, и не катет, то задача некорректна.
   Предположим, что угол P прямой, тогда АЕ - гипотенуза. АР и PE - катеты. Нам нужно найти ДЕ. Точка D на рисунке — вершина прямого угла. Так что D - прямой угол. Тогда АЕ - гипотенуза. АР и PE - катеты. В условии дано АР=1.6. Если это катет, то ДЕ - это другой катет. Но АР и PE - это катеты. В таком случае, чтобы найти ДЕ, нам нужно больше данных. Если АР = 1.6 это катет, то ДЕ - это другой катет. Мы можем найти PE из \( AE^2 = AP^2 + PE^2 \), но это не ДЕ.
   Предположим, что АР - это длина гипотенузы, а АЕ - катет. Это противоречит рисунку.
   Возможно, АР - это длина катета, а ДЕ - это длина другого катета. Тогда $$AE^2 = AP^2 + DE^2$$. \( (3.2)^2 = (1.6)^2 + DE^2 \). \( 10.24 = 2.56 + DE^2 \). \( DE^2 = 7.68 \). \( DE ≈ 2.77 \) см.
   Итак, если ДАРЕ - прямоугольный треугольник с прямым углом D, и АЕ - гипотенуза, АР и PE - катеты, то из \( AE^2 = AP^2 + PE^2 \) мы можем найти PE, но не ДЕ.
   Если же АР - это катет, и ДЕ - это катет, а АЕ - гипотенуза, тогда \( 3.2^2 = 1.6^2 + DE^2 \), \( DE = √{7.68} ≈ 2.77 \). Это наиболее вероятный вариант, если ДЕ — катет.
   Внимание: Если в задании имелся в виду другой треугольник или другая длина, то решение будет отличаться. Исходя из рисунка, D - прямой угол. АР и PE - катеты. АЕ - гипотенуза. В условии задачи даны АЕ и АР. Ищем ДЕ. Здесь явное противоречие. АР и PE - катеты. Если АР = 1.6, то ДЕ мы не можем найти. Если же ДЕ - это катет, то мы можем найти ДЕ, если АР - это другой катет. Тогда \( DE^2 = AE^2 - AP^2 \) \( DE^2 = (3.2)^2 - (1.6)^2 \) \( DE^2 = 10.24 - 2.56 = 7.68 \) \( DE = √{7.68} ≈ 2.77 \) см.
3. в) Найти АР:
   Дан прямоугольный треугольник ДАРЕ, ∠E=30°, АЕ = 5,2 см (гипотенуза). Угол D прямой.
   Нам нужно найти катет АР, который противолежит углу E.
   Используем синус угла E: \( Син(30^°) = \frac{AP}{AE} \)
   \( \frac{1}{2} = \frac{AP}{5,2} \)
   \( AP = 5,2 \cdot \frac{1}{2} = 2,6 \) см.

Ответ: а) 6 см, б) ≈2,77 см (при условии, что ДЕ — катет), в) 2,6 см