3. AB и CD — перпендикуляры к прямой BD, точки А и С лежат по разные стороны от прямой BD. Докажите, что BC || AD, если AB = CD.

Решение:

Дано:

AB ⊥ BD, CD ⊥ BD, AB = CD.

Доказать: BC || AD.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники ΔABD и ΔCDB.
2. У них AB = CD (по условию).
3. BD — общая сторона для обоих треугольников.
4. ∠ABD = 90° и ∠CDB = 90° (по условию, так как AB ⊥ BD и CD ⊥ BD).
5. Следовательно, ΔABD = ΔCDB по двум сторонам и углу между ними (по признаку равенства прямоугольных треугольников — по двум катетам).
6. Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны и углы равны. Значит, ∠ADB = ∠CBD.
7. Углы ∠ADB и ∠CBD являются накрест лежащими углами при прямых AD и BC и секущей BD.
8. Так как накрест лежащие углы равны (∠ADB = ∠CBD), то прямые AD и BC параллельны.
9. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.