3. ABCD — параллелограмм; AA₁ = CC₁; BB₁ = DD₁. Доказать: A₁B₁C₁D₁ — параллелограмм.

Рассмотрим центральную симметрию с центром O — точкой пересечения диагоналей AC и BD параллелограмма ABCD. Диагонали параллелограмма делятся точкой O пополам, поэтому эта симметрия переводит A в C, а B в D.

Точки A₁ и C₁ лежат на AC. Условие AA₁ = CC₁ означает, что они симметричны относительно середины AC, то есть центральная симметрия переводит A₁ в C₁.

Аналогично, B₁ и D₁ лежат на BD, а BB₁ = DD₁, поэтому центральная симметрия переводит B₁ в D₁.

Центральная симметрия сохраняет параллельность и длины. Следовательно, образ отрезка A₁B₁ — отрезок C₁D₁, поэтому A₁B₁ ∥ C₁D₁. Образ отрезка B₁C₁ — отрезок D₁A₁, поэтому B₁C₁ ∥ D₁A₁.

У четырёхугольника A₁B₁C₁D₁ обе пары противоположных сторон параллельны, значит, это параллелограмм.

Доказано.