3. ABCD — прямоугольник. AB = 7, AD = 24. Докажите: \(|\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}|=2\cdot|\overrightarrow{OC}|\). Найдите: \(|\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{OB}|\).

Диагонали прямоугольника пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому \(O\) — середина диагонали \(AC\).

Доказательство. По правилу сложения векторов вдоль ломаной \(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}\). Диагональ прямоугольника имеет длину \(|AC|=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{7^2+24^2}=25\). Так как \(O\) — середина \(AC\), то \(|OC|=\frac{25}{2}\), следовательно, \(2|OC|=25=|AC|=|\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}|\).

Вычисление. По правилу сложения вдоль пути \(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{AB}\). Поэтому \(\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}\). Тогда

\(|\overrightarrow{DB}|=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{7^2+24^2}=25\).

Ответ: утверждение доказано; \(|\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{OB}|=25\).