3. ABCD — прямоугольник. Диагонали AC и BD пересекаются в O. Из B опущен перпендикуляр BE на AC. ∠ACD = 60°, OE = 4. Найти: AC.

Пусть AC = L. Так как ∠ACD = 60°, диагональ AC образует с горизонтальной стороной прямоугольника угол 30°.

Введём координаты: A = (0, 0), B = (0, h), C = (w, h). Тогда tan 30° = h/w, откуда w = √3h, а L² = w² + h² = 4h². Следовательно, h = L/2.

Точка O — середина диагонали AC, поэтому AO = L/2. Проекция точки B на AC — это E. По формуле проекции:

AE = (AB · AC)/AC = h²/L = L/4.

Значит, OE = AO − AE = L/2 − L/4 = L/4. По условию OE = 4, поэтому L/4 = 4 и L = 16.

Ответ: AC = 16.