3. ABCD — прямоугольник. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Точка E лежит на AC, BE ⟂ AC, ∠ACD = 60°. Дано: OE = 4. Найти: AC.

Так как ABCD — прямоугольник, ∠ADC = 90°. В треугольнике ACD поэтому ∠CAD = 30°, а ∠ACD = 60°.

Обозначим AC = d. В прямоугольном треугольнике ACD сторона AD, лежащая напротив угла 60°, равна \(d\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}d\).

Площадь треугольника ABC можно выразить двумя способами: \(S_{ABC}=\frac12 AB\cdot BC\) и \(S_{ABC}=\frac12 AC\cdot BE\). Поскольку AB = CD, BC = AD, получаем \(BE=\frac{AB\cdot BC}{AC}=\frac{CD\cdot AD}{AC}=\frac12d\).

Треугольник ABE прямоугольный при E, а ∠BAE = ∠BAC = 30°. Следовательно, в прямоугольном треугольнике ABE гипотенуза AB вдвое больше катета BE: AB = 2BE = d. Значит, прямоугольный треугольник ACD имеет равные катеты CD = AD = d, что противоречит его углу ∠CAD = 30° (при ∠ACD = 60° катеты не равны).

Следовательно, прочтение геометрических отметок или условия на изображении противоречиво: при прямоугольнике и указанном угле 60° точка E на AC с BE ⟂ AC не может дать OE = 4. Уточните, пожалуйста, отметку угла и положение точки E на оригинале; по видимому изображению AC однозначно найти нельзя.