3. ABCD — трапеция, AD ∥ BC. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O; AO = OD. Доказать: AB = CD.

Треугольники AOD и COB подобны: углы AOD и COB — вертикальные, а углы ADO и CBO равны при AD ∥ BC. Поэтому \(\frac{AO}{OC}=\frac{DO}{OB}\).

Так как AO = DO, из пропорции следует OC = OB. Тогда AC = AO + OC = DO + OB = BD: диагонали трапеции равны.

Покажем, что равенство диагоналей в этой трапеции влечёт равенство боковых сторон. Введём координаты: A = (0, 0), D = (d, 0), B = (u, h), C = (u + v, h), где d и v — длины оснований, h > 0. Из AC = BD получаем \((u+v)^2+h^2=(d-u)^2+h^2\), то есть \((u+v)^2=(d-u)^2\). Вариант u + v = −(d − u) привёл бы к v = −d, что невозможно для положительных длин оснований. Поэтому u + v = d − u, откуда u = (d − v)/2.

Теперь \(AB^2=u^2+h^2\), а \(CD^2=(u+v-d)^2+h^2=(-u)^2+h^2=u^2+h^2\). Значит, AB² = CD², и как длины отрезков AB = CD.

Ответ: AB = CD.