3. ABCD — трапеция, BC ∥ AD. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O; AO = OD. Доказать: AB = CD.

1. Треугольники AOD и COB подобны: \(\angle AOD=\angle COB\) как вертикальные, а \(\angle OAD=\angle OCB\) как накрест лежащие при AC и параллельных AD, BC.

2. Из подобия следует \(\frac{AO}{OC}=\frac{DO}{OB}\). По условию AO = DO, значит OC = OB. Тогда \(AC=AO+OC=DO+OB=BD\): диагонали трапеции равны.

3. Покажем, что равенство диагоналей в этой трапеции влечёт равенство боковых сторон. Введём координаты \(A=(0,0)\), \(D=(d,0)\), \(B=(u,h)\), \(C=(u+c,h)\), где \(BC=c\), а \(h\) — высота трапеции. Горизонтальные проекции диагоналей равны соответственно \(u+c\) и \(d-u\); они положительны. Так как диагонали равны и имеют одинаковую вертикальную проекцию h, их горизонтальные проекции равны: \(u+c=d-u\).

4. Горизонтальная проекция AB равна u, а горизонтальная проекция CD равна \(d-(u+c)\). Из полученного равенства \(d-(u+c)=u\). У обеих боковых сторон одинаковая высота h и одинаковая горизонтальная проекция, следовательно, \(AB=CD\).

Ответ: AB = CD.