3) AC и BD — диаметры окружности. Доказать, что ABCD — прямоугольник. Найти BC, если AC = 18 см, ∠ABD = 30°.

Доказательство.

Так как AC — диаметр, вписанный угол ABC, опирающийся на AC, равен 90°.

Так как BD — диаметр, вписанный угол BAD, опирающийся на BD, равен 90°.

Значит, у вписанного четырёхугольника ABCD два противоположных угла прямые. Тогда и два остальных угла прямые: их сумма с первыми двумя равна 360°. Следовательно, ABCD — прямоугольник.

Вычисление BC.

В прямоугольнике диагонали равны, поэтому BD = AC = 18 см. Треугольник ABD прямоугольный, гипотенуза BD равна 18 см, а ∠ABD = 30°.

В прямоугольном треугольнике катет AD, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы:

AD = 18 : 2 = 9 см.

Противоположные стороны прямоугольника равны, поэтому BC = AD = 9 см.

Ответ: ABCD — прямоугольник; BC = 9 см.