3) AC и BD — диаметры окружности. Докажите, что ABCD — прямоугольник. Найти BC, если AC = 18 см, ∠ABD = 30°.

Доказательство. Поскольку AC — диаметр, вписанный угол ∠ABC, опирающийся на AC, равен 90°. Поскольку BD — диаметр, вписанный угол ∠BAD, опирающийся на BD, также равен 90°. Значит, противоположные углы четырёхугольника ABCD в сумме составляют 180°: ∠ABC + ∠ADC = 180° (вписанные углы ∠ABC и ∠ADC опираются на разные дуги с концами A и C, и их сумма равна 180°). Аналогично ∠BAD + ∠BCD = 180°. Поэтому ABCD — параллелограмм; так как у него есть прямой угол, это прямоугольник.

Найдем BC. Диаметры AC и BD равны, значит BD = AC = 18 см. В прямоугольнике диагонали равны и делятся пополам, поэтому OB = OD = 9 см. В прямоугольном треугольнике ABD угол A равен 90°, а ∠ABD = 30°. Тогда AB = BD · cos 30° = 9√3 см.

В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому BC = AD. По теореме Пифагора в треугольнике ABD: AD² = BD² − AB² = 18² − (9√3)² = 81, откуда AD = 9 см.

Ответ: ABCD — прямоугольник; BC = 9 см.