3. АВСД — прямоугольник. АВ=7, АД=24. Докажите: $|\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}|=2\cdot|\overrightarrow{OC}|$. Найдите: $|\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{OB}|$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. АВСД — прямоугольник. АВ=7, АД=24. Докажите: $|\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}|=2\cdot|\overrightarrow{OC}|$.…$ Фото задания

3. АВСД — прямоугольник. АВ=7, АД=24. Докажите: $|\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}|=2\cdot|\overrightarrow{OC}|$. Найдите: $|\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{OB}|$.

Accepted Answer

В прямоугольнике диагонали пересекаются и делятся пополам, поэтому $O$ — середина диагонали $AC$. Кроме того, $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}$. Следовательно, $|\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}|=|AC|$, а так как $O$ — середина $AC$, то $2|OC|=|AC|$. Равенство доказано.

Положим $A=(0;0)$, $D=(24;0)$, $B=(0;7)$. Тогда $O=(12;3{,}5)$. Получаем $\overrightarrow{AO}=(12;3{,}5)$, $\overrightarrow{AD}=(24;0)$, $\overrightarrow{OB}=(-12;3{,}5)$.

$\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{OB}=(12;3{,}5)-(24;0)+(-12;3{,}5)=(-24;7)$.

Длина этого вектора равна $\sqrt{(-24)^2+7^2}=\sqrt{625}=25$.

Ответ: равенство доказано; $|\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{OB}|=25$.

3. АВСД — прямоугольник. АВ=7, АД=24. Докажите: \(|\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}|=2\cdot|\overrightarrow{OC}|\). Найдите: \(|\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{OB}|\).

Ответ: