3. Балка. Диаметр бревна d = 44 см. Найдите размеры сечения максимальной прочности.

Примем стандартную модель: прямоугольное сечение вырезают из круглого бревна, а прочность балки пропорциональна произведению ширины на квадрат высоты: P ∝ bh². Диагональ прямоугольника равна диаметру бревна, поэтому b² + h² = 44².

Выразим ширину: b = √(44² − h²). Максимизируем P² ∝ b²h⁴ = (44² − h²)h⁴. Обозначив u = h², получим f(u) = (44² − u)u². Тогда f′(u) = u(2 · 44² − 3u), и максимум при положительном u достигается, когда u = 2 · 44² ÷ 3.

Следовательно, h = 44√(2/3) ≈ 35,9 см, а b = √(44² − h²) = 44/√3 ≈ 25,4 см.

Ответ: ширина примерно 25,4 см, высота примерно 35,9 см.