3. Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC = 11, а расстояние от точки K до стороны AB равно 3.

Обозначим длины сторон параллелограмма: AB = a, BC = AD = 11. Пусть угол A равен α.

1. Поскольку K лежит на биссектрисе угла A, его расстояния до сторон AB и AD равны. Расстояние до AB равно 3, значит и расстояние до AD равно 3.
2. Так как K лежит на биссектрисе угла B, его расстояния до сторон AB и BC также равны 3.
3. Расстояние от K до AB равно 3, поэтому высота параллелограмма к основанию AB равна 2 · 3 = 6: точка K находится на половине расстояния между параллельными сторонами AB и CD.
4. Рассмотрим проекции на направление стороны AB. У точки на биссектрисе угла A проекция на AB равна половине длины AB, то есть a/2. У точки на биссектрисе угла B проекция от начала стороны AB равна a − 11/2. Приравнивая эти выражения, получаем a/2 = a − 11/2, откуда a = 11.
5. Площадь равна произведению основания на высоту: S = 11 · 6 = 66.

Ответ: 66.