№3. Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если AB = 6.

Пусть AB = a = 6, а AD = BC = b. Введём координаты: A = (0, 0), B = (a, 0), D = (u, v), тогда C = (a + u, v).

Так как M лежит на BC, его можно записать как M = B + t(D − A) = (a + tu, tv), где 0 ≤ t ≤ 1.

Направление биссектрисы угла A равно сумме единичных векторов вдоль AB и AD. Поэтому точка пересечения этой биссектрисы с BC соответствует параметру t = a/b.

Угол D дополняет угол A до 180°. Направление биссектрисы угла D задаётся суммой единичных векторов вдоль DA и DC; её пересечение с BC соответствует t = 1 − a/b.

Обе биссектрисы проходят через одну и ту же точку M, значит, a/b = 1 − a/b, откуда b = 2a = 12.

Периметр: P = 2(AB + AD) = 2(6 + 12) = 36.

Ответ: 36.