3. Биссектрисы углов B и D параллелограмма ABCD пересекают стороны AD и BC в точках E и F соответственно, причём ED = 12 см, а FC = 16 см. 1) Докажите, что BEDF — параллелограмм; 2) найдите периметр параллелограмма ABCD.

1. Так как AB ∥ CD и AD ∥ BC, углы B и D равны. Их биссектрисы BE и DF параллельны. Кроме того, ED лежит на AD, а BF — на BC, поэтому ED ∥ BF. Следовательно, BEDF — параллелограмм.

2. В треугольнике ABE углы при A и B равны: AE лежит на AD, а BE делит угол B пополам; из параллельности AD и BC следует, что ∠ABE = ∠BEA. Поэтому AE = AB.

   Так как BEDF — параллелограмм, BF = ED = 12 см. А поскольку BC = AD и FC = 16 см, получаем BC = BF + FC = 12 + 16 = 28 см. Значит, AD = 28 см.

   Из AE = AB и AD = AE + ED следует AB = AD − ED = 28 − 12 = 16 см. Тогда периметр ABCD равен 2 · (16 + 28) = 88 см.

Ответ: 1) BEDF — параллелограмм; 2) 88 см.